Parametrická a všeobecná rovnica priamky

Najskôr pár slov o parametrickom vyjadrení priamky v rovine. Predpokladajme, že v rovine máme danú priamku, prechádzajúcu bodmi A, B. Zostrojíme vektor u = B – A.

Potom ľubovoľný bod X [x,y] leží na tejto priamke, ak sú vektory X – A a  u  rovnobežné.

Čo môžeme zapísať:

 

X – A = t . u

 

Teda platí: X = A + t . u

Túto rovnicu môžeme rozpísať:

 

x = x₁ + t . u₁

y = y₁ + t . u₂

 

Pričom A [x₁,y₁] je ľubovoľný bod ležiaci na danej priamke

u ( u₁,u₂ ) je smerový vektor priamky, čiže nenulový vektor, ktorý je s danou

priamkou rovnobežný

t je parameter

 

Každej hodnote parametra prislúcha práve jeden bod z danej priamky a naopak.

 

Teraz jednoduchý príklad:

a)

Napíš parametrické vyjadrenie priamky, prechádzajúcej bodmi A [5,4] a B [9,1] .

 

Nájdeme smerový vektor: u = B – A = ( 9 – 5, 1 – 4 ) = ( 4, -3 )

 

 

x = 5 + 4 . t

y = 4 – 3 . t

 

b)

Nájdi ďalšie dva body, ležiace na danej priamke.

 

Za t dosadíme ľubovoľné reálne číslo a zistíme súradnice hľadaného bodu.

 

t = 2 t = 50

 

 

x = 5 + 4 . 2 = 13 x = 5 + 4 . 50 = 205

y = 4 – 3 . 2 = -2 y = 4 – 3 . 50 = -146

 

 

C [13,-2] D [205,-146]

 

c)

Zisti, či body M [1,2] a N [25,-11] ležia na danej priamke.

 

 

1 = 5 + 4 . t

2 = 4 – 3 . t vyjadríme si parameter t z prvej aj druhej rovnice a porovnáme ich

–––––––––––

2

z prvej rovnice t = -1 a z druhej rovnice t = ––– z čoho vyplýva, že bod M na priamke neleží.

3

 

 

25 = 5 + 4 . t

-11 = 4 – 3 . t

––––––––––––

t = 5

t = 5 Bod N leží na danej priamke.

 

 

Dôležitý je tiež aj prevod z parametrickej rovnice na všeobecnú, ktorej tvar je

ax + by + c = 0, kde n ( a,b ) je normálový ( kolmý ) vektor priamky.

 

Príklad:

Zapíš parametrickú rovnicu priamky, prechádzajúcej bodmi P [3,8] a Q [5,3]

Potom preveď túto rovnicu na všeobecnú.

 

u = Q – P = ( 2, -5 )

 

x = 3 + 2 . t / . 5 jednoduchou sčítacou metódou odstránime parameter t

y = 8 – 5 . t / . 2

–––––––––––––––––

5 x = 15 + 10 t

2 y = 16 – 10 t

–––––––––––––––––

5 x + 2 y – 31 = 0

 

 

Na záver ešte jeden príklad:

Napíš parametrické vyjadrenie ťažnice t_c v trojuholníku ABC, pričom A [0,5], B[2,1] a

 C [3,7].

Ťažnica z vrcholu C prechádza stredom protiľahlej strany, ktorého súradnice najskôr vypočítame:

0 + 2 5 + 1

S_AB = [ –––––– , –––––– ] = [ 1, 3 ]

2 2

 

Smerový vektor u = C – S_AB = ( 3 – 1, 7 – 3 ) = ( 2, 4 )

 

x = 3 + 2 . t

y = 7 – 4 . t